Bevor ich mit dem Satz an sich anfange würde ich gerne erst einmal den Formalismus etablieren in dem man normalerweise von Symmetrien Spricht. Das ist wahrscheinlich der Mathematischste Teil aber Logik sollte die einzige Voraussetzung sein. (Vielleicht wäre es gut die Grundschule besucht zu haben um die Beispiele zu verstehen).
Also was ist genau eine Symmetrie. Um mal eine Intuitive Definition zu geben, eine Symmetrie ist irgendeine Operation die man auf ein Geometrischen Körper anwenden kann ohne das sich der Körper ändert. Zum Beispiel bei einem Quadrat. Man kann das Quadrat um 90 grad drehen, man kann es auch um 180 grad drehen und auch um 270 grad. Man kann auch gar nichts machen(Oder um 360 grad drehen was Äquivalent zu gar nichts machen ist, da jeder Punkt auf dem Quadrat auf sich selbst geschickt wird).
Ein Kreis kann man um jeden beliebigen winkel drehen und auch über jeder beliebigen Achse Spiegeln.
Das ist jetzt natürlich noch keine wirklich zufriedenstellende Definition, weil es jetzt erstmal nicht klar ist was eine Operation sein soll. Zumindest sollten da Spiegelungen und Drehungen dazu gehören. Wenn man dieses Problem jetzt erst einmal ignoriert dann kommt man aber schon mal auf eine wichtige Definition.
Angenommen es ist jetzt erst einmal klar was eine Symmetrische Operation sein soll, dann kann man sich ja überlegen, wenn man zwei Symmetrische Operationen nach einander ausführt, dann hat man wieder eine Symmetrische Operation. Warum soll sich dabei ja auch was verändern. Wenn man zwei mal ein Quadrat um 90 grad dreht, dann bleibt das Quadrat in den Einzelschritten gleich und damit auch Insgesamt. Es gibt eine Symmetrische Operation die gar nichts macht, also die jeden Punkt auf sich selbst schickt. Das heißt im Prinzip das wenn ich eine Beliebige Operation ausführe und dann die Operation die gar nichts macht, ist es als ob ich nur die erste Operation gemacht hab. Und schlussendlich gibt es für jede Symmetrische Operation auch eine umgekehrte Operation. Die folgender maßen definiert ist, wenn die Operation ein Punkt a auf b schickt, dann schickt die umgekehrte Operation b auf a. Das sollte ja dann auch wieder eine Symmetrie sein. Und mit der Eigenschaft, dass wenn man eine Operation ausführt, dann die umgekehrte Operation ausführt, es so ist, als ob man gar nichts gemacht hat.
Das motiviert dann folgende Definition: Eine Gruppe ist eine Menge G (Wenn man da naiv ran geht, dann ist eine Menge erst einmal eine Vereinigung von Elementen, zum beispiel Symmetrische Operationen oder aber auch Zahlen), auf der eine Verknüpfung definiert ist, die ich hier mal mit "*" bezeichne. Konkret bedeutet das das man zwei Elemente a und b der Menge G nehmen kann und die Verknüpfung, die dann auf ein neues Element von G schickt. Dieses neue Element bezeichnet man dann mit a*b. In dem Oberen Beispiel wäre dann die Verknüpfung, dass man zwei Symmetrische Operationen nach einander Ausführt. Ein anderes Beispiel was man hoffentlich aus der Grundschule kennt, wären zum beispiel die ganzen Zahlen (Das sind die Zahlen ...,-2,-1,0,1,2,...) zusammen mit der Addition. Wie man aber oben gesehen hat, hat die nacheinander Ausführung von Gruppen, noch mehr Eigenschaften und diese sollen in die Definition der Gruppe auch noch bedeutsam sein. Denn für eine Gruppe muss die Verknüpfung auch noch drei Bedingungen erfüllen:
Die erste ist, dass es ein neutrales Element gibt (Was je nach Kontext manchmal mit e,1 oder 0 bezeichnet wird. Ich werde es mit e bezeichnen um Verwechslungen mit den Zahlen 1 und 0 zu vermeiden.) Dieses neutrale Element soll die Folgende Eigenschaft haben: Für jedes Element g \in G (\in bedeutet das g ein Element von der Menge G ist.) gilt g*e=g und e*g=g. Also wie man sieht ist die Symmetrische Operation genau die Operation die als neutrales Element fungiert.
Die zweite Bedingung ist, das jedes Element g \in G ein inverses hat, was ich hier mit g' bezeichnen werde. Normalerweise bezeichnet man das inverse auch mit g und oben recht steht da ein -1. Dieses g' soll folgende Eigenschaften haben: g'*g=e und g*g'=e. Die rolle des inversen hier übernimmt die umgekehrte Symmetrische Operation.
Die letzte Bedingung ist vielleicht ein bisschen technisch aber zur Vollständigkeit werde ich die hier auch noch mal aufführen. Diese Bedingung nennt man auch das Assoziativgesetz (Vielleicht kennt man das ja noch aus der Schule). Das besagt im Prinzip aus das Klammersetzung egal ist. Konkret: Für 3 Elemente von G, sagen wir mal g,h,l gilt: (g*h)*l=g*(h*l). Also wenn man 3 oder mehr Elemente zusammenrechnen möchte, dann ist es egal ob man erst g*h ausrechnet und das Ergebnis mit l verknüpft oder erst h*l ausrechnet und dann das Ergebnis mit g verknüpft. Also die Priorisierung ist beim ausrechnen unwichtig. Die Symmetrischen Operationen erfüllen diese Bedingung auch (vielleicht kann man das als kleine Aufgabe für den Leser sehen).
Aber insgesamt sieht man so, dass das Konzept der Gruppe eigentlich genau der Richtige Formalismus für Symmetrien ist.
Vielleicht bevor ich weiter gehe noch zwei Bemerkungen. Das Assoziativitätsgesetz ist nicht trivial erfüllt. Dafür gebe ich mal ein gegen Beispiel. Dafür nimmt man wieder die ganzen Zahlen aber die Verknüpfung ist jetzt - und nicht mehr +. Dann nimmt man jetzt, sag ich mal 3 4 und 5 und dann sieht man dass gilt (3-4)-5 = (-1)-5=-6 aber 3-(4-5)= 3-(-1)=4. Die zweite Bemerkung ist, das die reinfolge wichtig ist. Also a*b muss nicht unbedingt b*a sein. Bei manchen Gruppen gilt diese Bedingung, dann nennt man diese auch abelsche Gruppen oder Kommutative Gruppen. Das diese Bedingung nicht zwangsläufig gilt, ist auch der Grund warum Gruppen in allgemeinen sehr Kompliziert sind. Ein Beispiel für eine Gruppe für die das nicht gilt haben wir schon. Nämlich die Symmetrie Gruppen sind im Allgemeinen nicht kommutativ. Dafür reicht zum Beispiel der Kreis im Koordinaten Kreuz, der einen Radius von 1 hat und sein Mittelpunkt bei 0 liegt. Zwei Symmetrische Operationen wären jetzt zum Beispiel einmal die Spiegelung an der x Achse und die Drehung um 90 grad. Sagen wir mal P ist der Punkt mit x Koordinate 0 und y Koordinate 1, also x=(0,1). Wenn man zuerst spiegelt und dann dreht, dann wird P erst auf (0,-1) und dann auf (1,0) geschickt wird. Wenn man allerdings zuerst dreht und spiegelt, dann wird x erst auf (-1,0) geschickt, was dann wiederum durch die Spiegelung auf sich selbst geschickt wird. Da ja aber die Symmetrien das sind was uns eigentlich interessiert, werde ich nicht die Kommutativität als Eigenschaft fordern.
Jetzt komm ich zurück zu Symmetrien und versuche zu klären was jetzt genau eine Operation sein soll. Dafür braucht man aber noch das Konzept der Funktion. Den Mengen alleine sind ein bisschen Langweilig und man kann alleine wenig damit Anfangen. Deshalb braucht man ein Weg verschiedene Mengen mit einander zu verbinden und das sind die Funktionen. Dafür wähle zwei Mengen M und N. Eine Funktion von M nach N, ist dann eine Vorschrift die jedem Element von M genau ein Element von N zuordnet. Polynome sind zum Beispiel Funktion oder eben auch Drehungen des Raumes kann man so als Funktion auffassen, da sie jedem Punkt einen anderen Punkt im Raum Zuordnet. Also diese Symmetrischen Operationen müssen irgendwie Funktionen sein, vom Raum in sich selbst. Allerdings sollten die Symmetrischen Operationen umkehrbar sein, was Funktionen im allgemeinen nicht sein müssen. Zum Beispiel kann es ja eine Funktion geben vom Koordinaten Kreutz, die alles auf den Nullpunkt schickt. Die ist auf jeden Fall nicht das was man haben möchte. Deshalb fordere ich jetzt einfach an die Funktion, das sie umkehrbar sein soll. So eine Funktion nennt man dann auch invertierbar (Invertierbarkeit ist im übrigen auch Äquivalent zu: es gibt für ein Element n aus N, immer genau ein Element aus M was durch die Funktion auf n geschickt wird. So eine Funktion nennt man dann auch bijektiv).
Auf einer Menge kann man daher nun die Menge der invertierbaren Selbstabbildungen definieren und es sollte klar sein, das die Symmetrischen Operationen irgend eine Teilmenge davon sein sollten. In der Intuitiven Definition habe ich ja gemeint, dass eine Symmetrische Operation irgend eine Operation auf einen Geometrischen Körper anwende ohne das er sich ändert. Jetzt muss man sich noch überlegen was es heißen soll, dass sich etwas nicht ändert und im Prinzip heißt das das sich die Struktur auf der Menge nicht ändern soll.
Nun was die Struktur ist, kann aber sehr Variabel sein. Um aber die Geometrische Perspektive Beizubehalten, in der Geometrie sollen Geraden auf Geraden abgebildet werden werden, sowie sollten winkel und längen erhalten. Also Konkurrenzbildungen. Denn Längen, Geraden und Winkel sind in gewisser weise das was Geometrische Objekte ausmacht.
Also solange diese Strukturen durch die Selbstabbildung erhalten werden, kann man sagen das das Ergebnis wieder der gleiche Körper ist. Das soll aber jetzt nur ein Beispiel sein. Für das Noether-Theorem ist vor allem wesentlich dass die Mechanik gleich bleibt. Das heißt, es wird sich um Selbstabbildungen des Raumes handeln (Also die Zeit vergeht, man ändert seinen Bezugspunkt bzw. man bewegt sich oder man dreht sich) und diese werden dann Erhaltungsgrößen induzieren, wenn diese Selbstabbildung die Mechanik nicht ändern. Daher irgend einer Symmetrie Bedingung genügen.
Als nächstes wird es wahrscheinlich aber wieder Hauptsächlich um Physik gehen, vor allem um Mechanik. Falls es fragen gibt, bitte hier stellen.
Aber danke dir auf jeden Fall für deine Arbeit. Ich werde es denke ich mehrfach lesen noch. Vielleicht bringt das den Erfolg ...